Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 64$

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} + 64 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Приравняем $x^{2} - 4 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} - 4 x + 16$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Решим $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ верно.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6