Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{7} \cdot \sqrt{16 - \frac{x^{3}}{7}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{16 - \frac{x^{3}}{7}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$16 - \frac{x^{3}}{7} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{x^{3}}{7} \geq - 16$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- \frac{x^{3}}{7} \geq - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x^{3}}{7} \geq - 16$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x^{3}}{7}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x^{3}}{7}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $\frac{x^{3}}{7}$ на $1$ .

$\frac{x^{3}}{7} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{7} \leq 16$

Этап 2.3

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{x^{3}}{7} \cdot 7 \leq 16 \cdot 7$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3}}{7} \cdot 7 \leq 16 \cdot 7$

Этап 2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} \leq 16 \cdot 7$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $16$ на $7$ .

$x^{3} \leq 112$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{112}$

Этап 2.5.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq \sqrt[3]{112}$

Этап 2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{112}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Перепишем $112$ в виде $2^{3} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $112$ .

$x \leq \sqrt[3]{8 (14)}$

Этап 2.5.2.2.1.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{2^{3} \cdot 14}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq 2 \sqrt[3]{14}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{14}]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 2 \sqrt[3]{14}}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \geq 0}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, 2 \sqrt[3]{14}], {x | x \leq 2 \sqrt[3]{14}}$

Диапазон: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Этап 6