Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\cos (π x) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$π x = \arccos (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{2}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{2}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.5.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.5.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $π x = \frac{3 π}{2}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $π x = \frac{3 π}{2}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 2.5.2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 2.5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 2.5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.6

Найдем период $\cos (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 2.6.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 2.6.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.7

Период функции $\cos (π x)$ равен $2$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{1}{2} + 1 n}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: ${x | x \neq \frac{1}{2} + 1 n}$ , для любого целого $n$

Диапазон: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Этап 6