Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ .

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8 x + 180$ и $c = x^{2} + 46 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Перепишем ${(- 8 x + 180)}^{2}$ в виде $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2

Развернем $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.1.3

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.1.4

Умножим $180$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.1.5

Умножим $- 8$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.1.6

Умножим $180$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5.3.2

Вычтем $1440 x$ из $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1.1

Умножим $x^{2} + 46 - x$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1.3.1

Умножим $- 1$ на $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.1.3.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.1.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.2

Вычтем $x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.3

Добавим $- 720 x$ и $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.4

Вычтем $46$ из $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Перепишем ${(- 8 x + 180)}^{2}$ в виде $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.2

Развернем $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.1.3

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.1.4

Умножим $180$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.1.5

Умножим $- 8$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.1.6

Умножим $180$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5.3.2

Вычтем $1440 x$ из $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1.1

Умножим $x^{2} + 46 - x$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1.3.1

Умножим $- 1$ на $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.1.3.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.1.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.2

Вычтем $x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.3

Добавим $- 720 x$ и $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8.4

Вычтем $46$ из $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 6.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Этап 6.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Этап 6.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Этап 6.4.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Этап 6.4.6.4

Разделим $4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ на $1$ .

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перепишем ${(- 8 x + 180)}^{2}$ в виде $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.2

Развернем $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.1.3

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.1.4

Умножим $180$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.1.5

Умножим $- 8$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.1.6

Умножим $180$ на $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5.3.2

Вычтем $1440 x$ из $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1.1

Умножим $x^{2} + 46 - x$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1.3.1

Умножим $- 1$ на $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.1.3.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.1.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.2

Вычтем $x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.3

Добавим $- 720 x$ и $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8.4

Вычтем $46$ из $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Этап 7.4.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Этап 7.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Этап 7.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Этап 7.4.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Этап 7.4.6.4

Разделим $4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ на $1$ .

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Этап 9

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

Этап 10.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.3

Подставим значения $a = 15$ , $b = - 719$ и $c = 8054$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Возведем $- 719$ в степень $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.4.1.2.2

Умножим $- 60$ на $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.4.1.3

Вычтем $483240$ из $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Возведем $- 719$ в степень $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.5.1.2.2

Умножим $- 60$ на $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.5.1.3

Вычтем $483240$ из $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

Возведем $- 719$ в степень $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.6.1.2.2

Умножим $- 60$ на $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.6.1.3

Вычтем $483240$ из $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Этап 10.6.2

Умножим $2$ на $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.7

Объединим решения.

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Этап 10.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

Этап 10.9.1.3

Левая часть $8054$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 20$

Этап 10.9.2.2

Заменим $x$ на $20$ в исходном неравенстве.

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

Этап 10.9.2.3

Левая часть $- 326$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 33$

Этап 10.9.3.2

Заменим $x$ на $33$ в исходном неравенстве.

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

Этап 10.9.3.3

Левая часть $662$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Истина

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Ложь

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Истина

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Истина

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Ложь

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Истина

Этап 10.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ или $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Этап 11

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Этап 12

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Этап 13

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Диапазон: $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Этап 14