Математический анализ Примеры

$f (x) = (\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - x - 6})$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - x - 6}$

Этап 2

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - x - 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2, 3}$

Этап 5

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{9}{25}] \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq \frac{9}{25}, y > 1}$

Этап 6

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - 2, 3}$

Диапазон: $(- \infty, \frac{9}{25}] \cup (1, \infty), {y | y \leq \frac{9}{25}, y > 1}$

Этап 7