Математический анализ Примеры

$y = 3 \csc^{5} (6 x^{4})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \csc^{5} (6 x^{4}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \csc^{5} (6 x^{4})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\csc^{5} (6 x^{4})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc^{5} (6 x^{4})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \csc (6 x^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (6 x^{4})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\csc (6 x^{4})])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\csc (6 x^{4})])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (6 x^{4})$ .

$3 (5 \csc^{4} (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [\csc (6 x^{4})])$

Этап 3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 (\csc^{4} (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [\csc (6 x^{4})])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x^{4}$ .

$15 \csc^{4} (6 x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$15 \csc^{4} (6 x^{4}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x^{4}$ .

$15 \csc^{4} (6 x^{4}) (- \csc (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- 15 \csc^{4} (6 x^{4}) (\csc (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.6

Возведем $\csc (6 x^{4})$ в степень $1$ .

$- 15 (\csc^{1} (6 x^{4}) \csc^{4} (6 x^{4})) (\cot (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 15 {\csc (6 x^{4})}^{1 + 4} (\cot (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $4$ .

$- 15 \csc^{5} (6 x^{4}) (\cot (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [6 x^{4}])$

Этап 3.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 15 \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.10

Умножим $6$ на $- 15$ .

$- 90 \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 90 \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) (4 x^{3})$

Этап 3.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $4$ на $- 90$ .

$- 360 \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) x^{3}$

Этап 3.12.2

Изменим порядок множителей в $- 360 \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4}) x^{3}$ .

$- 360 x^{3} \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 360 x^{3} \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4})$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 360 x^{3} \csc^{5} (6 x^{4}) \cot (6 x^{4})$