Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 2}{4 x - x^{3}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2}{4 x - x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x - x^{3} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x \cdot 4 - x^{3} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$x \cdot 4 + x (- x^{2}) = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 + x (- x^{2})$ .

$x (4 - x^{2}) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x (2^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$x ((2 + x) (2 - x)) = 0$

Этап 2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (2 + x) (2 - x) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, 2, - 2}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup [1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y < 0, y \geq 1}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty), {x | x \neq 0, 2, - 2}$

Диапазон: $(- \infty, 0) \cup [1, \infty), {y | y < 0, y \geq 1}$

Этап 6