Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{2} + 3 x + 38$ , $[0, 9]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 9]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} - x^{2} + 3 x + 38 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} - x^{2} d x + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \int_{0}^{9} x^{2} d x + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + 38 x]_{0}^{9})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $9$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + 38 x]_{0}^{9})$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $9$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 x]_{0}^{9})$

Этап 13.3

Найдем значение $38 x$ в $9$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $9$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{729}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{243}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - 0) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 + 0) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.6

Добавим $243$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 1 \cdot 243 + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.7

Умножим $- 1$ на $243$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.8

Возведем $9$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - 0) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} + 0) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.12

Добавим $\frac{81}{2}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.13

Объединим $3$ и $\frac{81}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + \frac{3 \cdot 81}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.14

Умножим $3$ на $81$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.15

Чтобы записать $- 243$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 \cdot \frac{2}{2} + \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.16

Объединим $- 243$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 \cdot 2 + 243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.18.1

Умножим $- 243$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 486 + 243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.18.2

Добавим $- 486$ и $243$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.20

Умножим $38$ на $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342 - 38 \cdot 0)$

Этап 13.4.21

Умножим $- 38$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342 + 0)$

Этап 13.4.22

Добавим $342$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342)$

Этап 13.4.23

Чтобы записать $342$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 13.4.24

Объединим $342$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + \frac{342 \cdot 2}{2})$

Этап 13.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 + 342 \cdot 2}{2})$

Этап 13.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.26.1

Умножим $342$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 + 684}{2})$

Этап 13.4.26.2

Добавим $- 243$ и $684$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{441}{2})$

Этап 14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot \frac{441}{2}$

Этап 14.2

Добавим $9$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{441}{2}$

Этап 15

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $9$ из $441$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 (49)}{2}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 49}{2}$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{49}{2}$

Этап 16