Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 2$ , $[0, 4]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{2} + 2 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 2 d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 2 d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 2 x]_{0}^{4})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}$ и $2 x]_{0}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{4})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 64 + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + 2 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.5

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.7.1

Умножим $8$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.7.2

Добавим $64$ и $24$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (0 + 2 \cdot 0))$

Этап 8.2.2.10

Умножим $2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - (0 + 0))$

Этап 8.2.2.11

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} - 0)$

Этап 8.2.2.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3} + 0)$

Этап 8.2.2.13

Добавим $\frac{88}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{88}{3})$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot \frac{88}{3}$

Этап 9.2

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{88}{3}$

Этап 10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (22)}{3}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 22}{3}$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{22}{3}$

Этап 11