Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 1$ , $- 1 < x < 2$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + x]_{- 1}^{2})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ и $x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{- 1}^{2})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + x$ в $2$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.6.2

Добавим $8$ и $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Этап 8.2.2.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 - 1))$

Этап 8.2.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{- 1}{3} - 1))$

Этап 8.2.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1))$

Этап 8.2.2.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}))$

Этап 8.2.2.11

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}))$

Этап 8.2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})$

Этап 8.2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 3}{3})$

Этап 8.2.2.13.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 4}{3})$

Этап 8.2.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

Этап 8.2.2.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + 1 (\frac{4}{3}))$

Этап 8.2.2.16

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

Этап 8.2.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14 + 4}{3})$

Этап 8.2.2.18

Добавим $14$ и $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{3})$

Этап 8.2.2.19

Сократим общий множитель $18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3})$

Этап 8.2.2.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)})$

Этап 8.2.2.19.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.2.19.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6}{1})$

Этап 8.2.2.19.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6)$

Этап 9

Добавим $2$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 2$

Этап 11