Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2}$ , $[7, 9]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[7, 9]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\int_{7}^{9} x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{1}{3} x^{3}]_{7}^{9})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $9$ и в $7$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} ((\frac{1}{3} \cdot 9^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $9$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{1}{3} \cdot 729 - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{729}{3} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{243}{1} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.3.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Этап 6.2.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - \frac{1}{3} \cdot 343)$

Этап 6.2.5

Умножим $343$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - 343 (\frac{1}{3}))$

Этап 6.2.6

Объединим $- 343$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 + \frac{- 343}{3})$

Этап 6.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - \frac{343}{3})$

Этап 6.2.8

Чтобы записать $243$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 \cdot \frac{3}{3} - \frac{343}{3})$

Этап 6.2.9

Объединим $243$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{243 \cdot 3}{3} - \frac{343}{3})$

Этап 6.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{243 \cdot 3 - 343}{3})$

Этап 6.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Умножим $243$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{729 - 343}{3})$

Этап 6.2.11.2

Вычтем $343$ из $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{386}{3})$

Этап 7

Вычтем $7$ из $9$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{386}{3}$

Этап 8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2$ из $386$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (193)}{3}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 193}{3}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{193}{3}$

Этап 9