Математический анализ Примеры

$g (x) = x^{2} (x^{4} - 3)$ , $[0, 2]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$g (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

$g (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $g$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} (x^{4} - 3) d x)$

Этап 5

Умножим $x^{2} (x^{4} - 3)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} x^{4} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2 + 4} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Этап 6.1.2

Добавим $2$ и $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Этап 6.2

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} - 3 x^{2} d x)$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{7} x^{7}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{7} \cdot 2^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} \cdot 2^{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $2$ в степень $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} \cdot 128 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $128$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + 0 (\frac{1}{7}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.6

Добавим $\frac{128}{7}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 11.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 11.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 11.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - 0))$

Этап 11.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} + 0))$

Этап 11.2.3.11

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3}))$

Этап 11.2.3.12

Объединим $- 3$ и $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 3 \cdot 8}{3})$

Этап 11.2.3.13

Умножим $- 3$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 24}{3})$

Этап 11.2.3.14

Сократим общий множитель $- 24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3})$

Этап 11.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)})$

Этап 11.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1})$

Этап 11.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 8}{1})$

Этап 11.2.3.14.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 8)$

Этап 11.2.3.15

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 8 \cdot \frac{7}{7})$

Этап 11.2.3.16

Объединим $- 8$ и $\frac{7}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 8 \cdot 7}{7})$

Этап 11.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128 - 8 \cdot 7}{7})$

Этап 11.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.18.1

Умножим $- 8$ на $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128 - 56}{7})$

Этап 11.2.3.18.2

Вычтем $56$ из $128$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{72}{7})$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{72}{7}$

Этап 12.2

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{7}$

Этап 13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (36)}{7}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 36}{7}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{36}{7}$

Этап 14