Математический анализ Примеры

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $g (x)$ в области $[0, 2]$ , найдем область определения $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + x^{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + x^{3} \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x^{3} \geq - 1$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Этап 1.2.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Этап 1.2.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим $x^{2} - x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq - 1$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1}$

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1}$

Этап 2

$g (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

$g (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $g$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Этап 5

Пусть $u = 1 + x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 + x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Этап 6

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.6

Умножим $2$ на $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.7

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.7.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Этап 10.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Этап 10.2.10

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Этап 10.2.11

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Этап 10.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Этап 10.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.13.1

Умножим $18$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Этап 10.2.13.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Этап 10.2.14

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Этап 10.2.15

Умножим $3$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Этап 11.2

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Этап 12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $52$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Этап 13