Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - x^{2}$ , $[- 1, 1]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x - x^{2} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1 - 1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 (0)}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.6

Умножим $2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Этап 11.2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 11.2.3.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Этап 11.2.3.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 11.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{1 + 1}{3})$

Этап 11.2.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{2}{3})$

Этап 11.2.3.14

Вычтем $\frac{2}{3}$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (- \frac{2}{3})$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{2}{3})$

Этап 13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Этап 13.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Этап 13.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Этап 13.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{- 1}{3}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = - \frac{1}{3}$

Этап 15