Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ , $[1, 27]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 27]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $27$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.6

Умножим $3$ на $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Этап 7.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 7.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243 - 3}{4})$

Этап 7.2.10

Вычтем $3$ из $243$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{240}{4})$

Этап 7.2.11

Сократим общий множитель $240$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.1

Вынесем множитель $4$ из $240$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4})$

Этап 7.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 (1)})$

Этап 7.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1})$

Этап 7.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{60}{1})$

Этап 7.2.11.2.4

Разделим $60$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (60)$

Этап 8

Вычтем $1$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{26} \cdot 60$

Этап 9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (13)} \cdot 60$

Этап 9.2

Вынесем множитель $2$ из $60$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Этап 9.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Этап 9.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{13} \cdot 30$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{13}$ и $30$ .

$A (x) = \frac{30}{13}$

Этап 11