Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 1}$ , $[0, 24]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[0, 24]$ , найдем область определения $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1}$

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 24]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} \sqrt{x + 1} d x)$

Этап 5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Этап 5.5

Добавим $24$ и $1$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $25$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.6

Умножим $2$ на $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 8.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 8.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 8.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250 - 2}{3})$

Этап 8.2.10

Вычтем $2$ из $250$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{248}{3})$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot \frac{248}{3}$

Этап 9.2

Добавим $24$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot \frac{248}{3}$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$A (x) = \frac{1}{8 (3)} \cdot \frac{248}{3}$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $8$ из $248$ .

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

Этап 10.1.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

Этап 10.1.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Этап 10.3

Умножим $3$ на $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Этап 11