Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x)$ , $[0, π]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, π]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Этап 5

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \cos (π) + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\cos (0) + 1)$

Этап 6.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 6.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (1 + 1)$

Этап 6.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (1 + 1)$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (2)$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot 2$

Этап 7.2

Добавим $π$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot 2$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{π}$ и $2$ .

$A (x) = \frac{2}{π}$

Этап 9