Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x + 9$ , $[5, 8]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[5, 8]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{5}^{8} 8 x + 9 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{5}^{8} 8 x d x + \int_{5}^{8} 9 d x)$

Этап 6

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 \int_{5}^{8} x d x + \int_{5}^{8} 9 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{8}) + \int_{5}^{8} 9 d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{x^{2}}{2}]_{5}^{8}) + \int_{5}^{8} 9 d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{x^{2}}{2}]_{5}^{8}) + 9 x]_{5}^{8})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $8$ и в $5$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 ((\frac{8^{2}}{2}) - \frac{5^{2}}{2}) + 9 x]_{5}^{8})$

Этап 10.2

Найдем значение $9 x$ в $8$ и в $5$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{64}{2} - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{32}{1} - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.2.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (32 - \frac{5^{2}}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (32 - \frac{25}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.4

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.5

Объединим $32$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{32 \cdot 2 - 25}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.1

Умножим $32$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{64 - 25}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.7.2

Вычтем $25$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (8 (\frac{39}{2}) + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.8

Объединим $8$ и $\frac{39}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8 \cdot 39}{2} + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.9

Умножим $8$ на $39$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{312}{2} + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.10

Сократим общий множитель $312$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $312$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{2 \cdot 156}{2} + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{2 \cdot 156}{2 (1)} + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{2 \cdot 156}{2 \cdot 1} + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{156}{1} + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.10.2.4

Разделим $156$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (156 + 9 \cdot 8 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.11

Умножим $9$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (156 + 72 - 9 \cdot 5)$

Этап 10.3.12

Умножим $- 9$ на $5$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (156 + 72 - 45)$

Этап 10.3.13

Вычтем $45$ из $72$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (156 + 27)$

Этап 10.3.14

Добавим $156$ и $27$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (183)$

Этап 11

Вычтем $5$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 183$

Этап 12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $3$ из $183$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (61))$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 61)$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 61$

Этап 13