Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x^{2} + 7$ , $[- 1, 4]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} + 7 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Этап 10.2

Найдем значение $7 x$ в $4$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64 + 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.7

Добавим $64$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{65}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.8

Объединим $7$ и $\frac{65}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{7 \cdot 65}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.9

Умножим $7$ на $65$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.10

Умножим $7$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 - 7 \cdot - 1)$

Этап 10.3.11

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 + 7)$

Этап 10.3.12

Добавим $28$ и $7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35)$

Этап 10.3.13

Чтобы записать $35$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 10.3.14

Объединим $35$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + \frac{35 \cdot 3}{3})$

Этап 10.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 35 \cdot 3}{3})$

Этап 10.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.16.1

Умножим $35$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 105}{3})$

Этап 10.3.16.2

Добавим $455$ и $105$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{560}{3})$

Этап 11

Добавим $4$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{560}{3}$

Этап 12

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $5$ из $560$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (112)}{3}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 112}{3}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{112}{3}$

Этап 13