Математический анализ Примеры

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{(y - 1) (y^{2} - y)} d y$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y (y^{2} - y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Этап 4

Изменим порядок $y$ и $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Этап 5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1 + 2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 7

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y \cdot y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 9

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 10

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y^{1}) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{1 + 1} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + 1 y} d y$

Этап 12.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + y} d y$

Этап 13

Вычтем $1 y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Этап 14

Разделим $y^{3} - y - 1$ на $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

Этап 14.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $y^{3}$ .

									$1$
	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$

Этап 14.3

Умножим новое частное на делитель.

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

Этап 14.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{3} - 2 y^{2} + y + 0$ .

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$

Этап 14.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$
									+	$2 y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Этап 14.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Этап 15

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Этап 17

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} + y}$

Этап 17.1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y}$

Этап 17.1.1.1.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y^{1}}$

Этап 17.1.1.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 1}$

Этап 17.1.1.1.5

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1}$

Этап 17.1.1.1.6

Вынесем множитель $y$ из $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1)}$

Этап 17.1.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1^{2})}$

Этап 17.1.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Этап 17.1.1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 17.1.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y {(y - 1)}^{2}}$

Этап 17.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}}$

Этап 17.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$

Этап 17.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) ({(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.6

Сократим общий множитель ${(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.6.2

Разделим $2 y^{2} - 2 y - 1$ на $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.1.2

Разделим $A ({(y - 1)}^{2})$ на $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ({(y - 1)}^{2}) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.2

Перепишем ${(y - 1)}^{2}$ в виде $(y - 1) (y - 1)$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ((y - 1) (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.3

Развернем $(y - 1) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y (y - 1) - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.4.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.4.1.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.4.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 2 y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + A (- 2 y) + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.6.2

Умножим $A$ на $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.7

Сократим общий множитель ${(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.7.1

Сократим общий множитель.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{B (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.7.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + (B) (y) + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Этап 17.1.7.8

Сократим общий множитель ${(y - 1)}^{2}$ и $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.8.1

Вынесем множитель $y - 1$ из $(C) (y {(y - 1)}^{2})$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{y - 1}$

Этап 17.1.7.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.8.2.1

Умножим на $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Этап 17.1.7.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Этап 17.1.7.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{C (y (y - 1))}{1}$

Этап 17.1.7.8.2.4

Разделим $C (y (y - 1))$ на $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y (y - 1))$

Этап 17.1.7.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y \cdot y + y \cdot - 1)$

Этап 17.1.7.10

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} + y \cdot - 1)$

Этап 17.1.7.11

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - 1 \cdot y)$

Этап 17.1.7.12

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - y)$

Этап 17.1.7.13

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} + C (- y)$

Этап 17.1.7.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} - C y$

Этап 17.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.8.1

Перенесем $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Этап 17.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Этап 17.1.8.3

Перенесем $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + B y + C y^{2} - C y + A$

Этап 17.1.8.4

Перенесем $B y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + C y^{2} + B y - C y + A$

Этап 17.1.8.5

Перенесем $- 2 y A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + C y^{2} - 2 y A + B y - C y + A$

Этап 17.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + C$

Этап 17.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 17.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A$

Этап 17.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

Этап 17.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = - 1$ .

$A = - 1$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 17.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + C$ на $- 1$ .

$2 = (- 1) + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 17.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 17.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 2 = - 2 A + B - 1 C$ на $- 1$ .

$- 2 = - 2 \cdot - 1 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Этап 17.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.4.1.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 = 2 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Этап 17.3.2.4.1.2

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Этап 17.3.3

Решим относительно $C$ в $2 = - 1 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + C = 2$ .

$- 1 + C = 2$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Этап 17.3.3.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 2 + 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Этап 17.3.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Этап 17.3.4

Заменим все вхождения $C$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $- 2 = 2 + B - C$ на $3$ .

$- 2 = 2 + B - (3)$

$C = 3$

$A = - 1$

Этап 17.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.4.2.1

Упростим $2 + B - (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 = 2 + B - 3$

$C = 3$

$A = - 1$

Этап 17.3.4.2.1.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Этап 17.3.5

Решим относительно $B$ в $- 2 = B - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $B - 1 = - 2$ .

$B - 1 = - 2$

$C = 3$

$A = - 1$

Этап 17.3.5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = - 2 + 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Этап 17.3.5.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Этап 17.3.6

Решим систему уравнений.

$B = - 1 C = 3 A = - 1$

Этап 17.3.7

Перечислим все решения.

$B = - 1, C = 3, A = - 1$

Этап 17.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Этап 17.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Этап 17.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C + \int - \frac{1}{y} - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 18

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C + \int - \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 19

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C - \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 20

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 21

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 22

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 22.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 22.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 22.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 22.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 22.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 23

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 23.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 23.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 24

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Этап 25

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y - 1} d y$

Этап 26

Пусть $u_{2} = y - 1$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Пусть $u_{2} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 26.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 26.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 26.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 26.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 26.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 27

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 28

Упростим.

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 29

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 29.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| y - 1 |) + C$