Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 4]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 \int_{0}^{4} x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.7

Добавим $64$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 9.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - 0))$

Этап 9.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} + 0))$

Этап 9.2.3.12

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3}))$

Этап 9.2.3.13

Объединим $- 3$ и $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 3 \cdot 64}{3})$

Этап 9.2.3.14

Умножим $- 3$ на $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 192}{3})$

Этап 9.2.3.15

Сократим общий множитель $- 192$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $- 192$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3})$

Этап 9.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 (1)})$

Этап 9.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 64}{1})$

Этап 9.2.3.15.2.4

Разделим $- 64$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 64)$

Этап 9.2.3.16

Вычтем $64$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

Этап 10.2

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$A (x) = 0$

Этап 12