Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , $[0, 3]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 3]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} - 4 x + 1 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + x]_{0}^{3})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}$ и $x]_{0}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + x$ в $3$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 27 + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{27}{3} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{9}{1} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.4

Добавим $9$ и $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - (0 + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 0 - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + 0 - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9

Добавим $12$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}))$

Этап 11.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Этап 11.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}))$

Этап 11.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - 0))$

Этап 11.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} + 0))$

Этап 11.2.3.14

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2}))$

Этап 11.2.3.15

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{- 4 \cdot 9}{2})$

Этап 11.2.3.16

Умножим $- 4$ на $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{- 36}{2})$

Этап 11.2.3.17

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{2 \cdot - 18}{2})$

Этап 11.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)})$

Этап 11.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1})$

Этап 11.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{- 18}{1})$

Этап 11.2.3.17.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 18)$

Этап 11.2.3.18

Вычтем $18$ из $12$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (- 6)$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot - 6$

Этап 12.2

Добавим $3$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Этап 13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = - 2$

Этап 14