Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ , $[- 1, 2]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} - 3 x + 5 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 5 x]_{- 1}^{2})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ и $5 x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ в $2$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3

Умножим $5$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.4

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.5

Объединим $10$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.7.1

Умножим $10$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 30}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.7.2

Добавим $8$ и $30$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{- 1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.11

Умножим $5$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.13

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 5 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.15.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 15}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.15.2

Вычтем $15$ из $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + 1 (\frac{16}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.18

Умножим $\frac{16}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38 + 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.20

Добавим $38$ и $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{54}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.21

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.21.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.21.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.22

Возведем $2$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.23

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.23.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.23.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.24

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{1}{2}))$

Этап 11.2.3.25

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Этап 11.2.3.26

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Этап 11.2.3.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2})$

Этап 11.2.3.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.28.1

Умножим $2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{4 - 1}{2})$

Этап 11.2.3.28.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{3}{2}))$

Этап 11.2.3.29

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 3 \cdot 3}{2})$

Этап 11.2.3.30

Умножим $- 3$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 9}{2})$

Этап 11.2.3.31

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - \frac{9}{2})$

Этап 11.2.3.32

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

Этап 11.2.3.33

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

Этап 11.2.3.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2 - 9}{2})$

Этап 11.2.3.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.35.1

Умножим $18$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{36 - 9}{2})$

Этап 11.2.3.35.2

Вычтем $9$ из $36$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2})$

Этап 12

Добавим $2$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{2}$

Этап 13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (9)}{2}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{2}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{9}{2}$

Этап 14