Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{2} d x$ , $0 < x < 4$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 6 x^{2} d x d x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 6 d (x^{2} x) d x)$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 6 d x^{2 + 1} d x)$

Этап 5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 6 d x^{3} d x)$

Этап 6

Поскольку $6 d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6 d$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d \int_{0}^{4} x^{3} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d \frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.2.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 8.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - \frac{0}{4}))$

Этап 8.2.2.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - \frac{4 (0)}{4}))$

Этап 8.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 8.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 8.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.2.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 - 0))$

Этап 8.2.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d (64 + 0))$

Этап 8.2.2.6

Добавим $64$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (6 d \cdot 64)$

Этап 8.2.2.7

Умножим $64$ на $6$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 d)$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot (384 d)$

Этап 9.2

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (384 d)$

Этап 10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $4$ из $384 d$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (96 d))$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (96 d))$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 96 d$

Этап 11