Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[4, 9]$ , найдем область определения $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[4, 9]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $9$ и в $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.5

Умножим $2$ на $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.6

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Этап 8.2.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Этап 8.2.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.9.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Этап 8.2.2.9.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Этап 8.2.2.11

Умножим $2$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Этап 8.2.2.12

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Этап 8.2.2.13

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Этап 8.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Этап 8.2.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.15.1

Умножим $18$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Этап 8.2.2.15.2

Вычтем $16$ из $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Этап 8.2.2.16

Объединим $6$ и $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Этап 8.2.2.17

Умножим $6$ на $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Этап 8.2.2.18

Сократим общий множитель $228$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.18.1

Вынесем множитель $3$ из $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Этап 8.2.2.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Этап 8.2.2.18.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.2.18.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Этап 8.2.2.18.2.4

Разделим $76$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Этап 9

Вычтем $4$ из $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{5}$ и $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Этап 11