Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[0, 2 π]$ , найдем область определения $f (x) = 5 \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\csc (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq π n}$ , для любого целого $n$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq π n}$ , для любого целого $n$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Этап 6

Интеграл $\csc (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ в $2 π$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Этап 7.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Выразим $\csc (2 π)$ через синусы и косинусы.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.2.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Выразим $\csc (0)$ через синусы и косинусы.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.4

Сократим общий множитель $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Этап 7.3.4.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Этап 7.3.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Этап 7.3.6

Умножим $5$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Этап 8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Этап 8.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{2 π}$ на $0$ .

$A (x) = 0$

Этап 10