Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} + 2 x - 3$ , $[- 3, 3]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 5 x^{2} + 2 x - 3 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 \int_{- 3}^{3} x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Этап 13.3

Найдем значение $- 3 x$ в $3$ и в $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{- 27}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.4

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{- 9}{1}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.4.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 + 9) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.5

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 + 9) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.6

Добавим $9$ и $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 \cdot 18 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.7

Умножим $5$ на $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.9

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9 - 9}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.11

Вычтем $9$ из $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{0}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{0}{1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.13

Умножим $2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 0 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.14

Добавим $90$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.15

Умножим $- 3$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 9 + 3 \cdot - 3)$

Этап 13.4.16

Умножим $3$ на $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 9 - 9)$

Этап 13.4.17

Вычтем $9$ из $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 18)$

Этап 13.4.18

Вычтем $18$ из $90$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (72)$

Этап 14

Добавим $3$ и $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 72$

Этап 15

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $6$ из $72$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (12))$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 12)$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 12$

Этап 16