Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} + 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.6

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.7.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 11.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 11.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 11.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - 0))$

Этап 11.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} + 0))$

Этап 11.2.3.12

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3}))$

Этап 11.2.3.13

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 3}{3})$

Этап 11.2.3.14

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3})$

Этап 11.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})$

Этап 11.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})$

Этап 11.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 1}{1})$

Этап 11.2.3.14.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 1)$

Этап 11.2.3.15

Вычтем $1$ из $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0)$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 0$

Этап 12.2

Добавим $1$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

Этап 13

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

Этап 13.1.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = 1 \cdot 0$

Этап 13.2

Умножим $0$ на $1$ .

$A (x) = 0$

Этап 14