Математический анализ Примеры

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 5]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Этап 7

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Этап 8

Пусть $u = - 0.04 x$ . Тогда $d u = - 0.04 d x$ , следовательно $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - 0.04 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 0.04$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.04 x$ по $x$ равна $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 0.04$ на $1$ .

$- 0.04$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Этап 8.3

Умножим $- 0.04$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Этап 8.5

Умножим $- 0.04$ на $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Этап 9.2

Объединим ${2.71828182}^{u}$ и $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Этап 11

Умножим $- 1$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{0.04}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.04}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{0.04}$ и $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Этап 13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Этап 14

Интеграл ${2.71828182}^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ и $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Этап 15.2

Перенесем $8$ влево от $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Этап 16

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $29 x$ в $5$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Этап 16.2

Найдем значение $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ в $- 0.2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $29$ на $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.2

Умножим $- 29$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.3

Добавим $145$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.5

Возведем $2.71828182$ в степень $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.6

Перепишем $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ в виде произведения.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.7

Умножим $\frac{1}{1.22140275}$ на $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.8

Умножим $1.22140275$ на $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 16.3.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Разделим $1$ на $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.2

Чтобы записать $0.81873075$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.4.1

Умножим $0.81873075$ на $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.4.2

Вычтем $1$ из $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.6

Заменим $e$ приближением.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Этап 17.1.1.7

Логарифм $2.71828182$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Этап 17.1.1.8

Разделим $0.18126924$ на $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Этап 17.1.1.9

Умножим $- 1$ на $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Этап 17.1.2

Умножим $8$ на $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Этап 17.1.3

Разделим $- 1.45015397$ на $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Этап 17.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Этап 17.2

Добавим $145$ и $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Этап 18

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Этап 18.2

Добавим $5$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Этап 19

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Этап 19.2

Разделим $181.25384939$ на $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Этап 20