Математический анализ Примеры

$f (x) = 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3$ , $[0, 20]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 20]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- 2 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x + x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Этап 5.2

Добавим $204 x$ и $14 x$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} + 218 x + 3 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} d x + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Этап 8

Поскольку $218$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $218$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + 3 x]_{0}^{20})$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}$ и $3 x]_{0}^{20}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $20$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ в $20$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.2

Сократим общий множитель $400$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.2.2.4

Разделим $200$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.6

Добавим $200$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 \cdot 200 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.7

Умножим $218$ на $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.8

Возведем $20$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 8000 + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.10

Умножим $3$ на $20$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.11

Чтобы записать $60$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.12

Объединим $60$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + \frac{60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.14.1

Умножим $60$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.14.2

Добавим $8000$ и $180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.16

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 3 \cdot 0))$

Этап 12.2.3.17

Умножим $3$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 0))$

Этап 12.2.3.18

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - 0)$

Этап 12.2.3.19

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} + 0)$

Этап 12.2.3.20

Добавим $\frac{8180}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3})$

Этап 12.2.3.21

Чтобы записать $43600$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8180}{3})$

Этап 12.2.3.22

Объединим $43600$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3}{3} + \frac{8180}{3})$

Этап 12.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3 + 8180}{3})$

Этап 12.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.24.1

Умножим $43600$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{130800 + 8180}{3})$

Этап 12.2.3.24.2

Добавим $130800$ и $8180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{138980}{3})$

Этап 13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{138980}{3}$

Этап 13.2

Добавим $20$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{138980}{3}$

Этап 14

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $20$ из $138980$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (6949)}{3}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 6949}{3}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{6949}{3}$

Этап 15