Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}$ , $[1, 4]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\int_{1}^{4} 2 x^{3} + 3 x^{2} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\int_{1}^{4} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (64 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (64 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.4

Чтобы записать $64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5

Объединим $64$ и $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{64 \cdot 4 - 1}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.7.1

Умножим $64$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{256 - 1}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7.2

Вычтем $1$ из $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (2 (\frac{255}{4}) + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8

Объединим $2$ и $\frac{255}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{2 \cdot 255}{4} + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.9

Умножим $2$ на $255$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{510}{4} + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.10

Сократим общий множитель $510$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $510$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{2 (255)}{4} + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.11

Возведем $4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.12

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}))$

Этап 11.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{64 - 1}{3}))$

Этап 11.2.3.14

Вычтем $1$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{63}{3}))$

Этап 11.2.3.15

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{3 \cdot 21}{3}))$

Этап 11.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{3 \cdot 21}{3 (1)}))$

Этап 11.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 (\frac{21}{1}))$

Этап 11.2.3.15.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 3 \cdot 21)$

Этап 11.2.3.16

Умножим $3$ на $21$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 63)$

Этап 11.2.3.17

Чтобы записать $63$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + 63 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 11.2.3.18

Объединим $63$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255}{2} + \frac{63 \cdot 2}{2})$

Этап 11.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255 + 63 \cdot 2}{2})$

Этап 11.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.20.1

Умножим $63$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{255 + 126}{2})$

Этап 11.2.3.20.2

Добавим $255$ и $126$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 1} (\frac{381}{2})$

Этап 12

Вычтем $1$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{381}{2}$

Этап 13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $3$ из $381$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (127)}{2}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 127}{2}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{127}{2}$

Этап 14