Математический анализ Примеры

$y = - x + 2 \cos (x)$

Этап 1

Запишем $y = - x + 2 \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = - x + 2 \cos (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $- 1 - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Этап 3.3

Вычтем $2 \cos (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin (x) = 1$

Этап 6

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 9

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 10

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 10.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 11

Решение уравнения $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 13.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 13.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \sqrt{3}$

Этап 13.5

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - \frac{π}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{6}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - (- \frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $- (- \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 1 (\frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Этап 15.2.1.1.2

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Этап 15.2.1.2

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 15.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 15.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{7 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 17.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 17.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.3.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Этап 17.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Этап 17.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3}$

Этап 18

$x = \frac{7 π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 19.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 19.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - x + 2 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ — локальный максимум

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3})$ — локальный минимум

Этап 21