Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2$ , $[- 4, 0]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 4, 0]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 \int_{- 4}^{0} x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $0$ и в $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Этап 12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Этап 12.3

Найдем значение $2 x$ в $0$ и в $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.3

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot - 64) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.4

Умножим $- 64$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + 64 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.5

Объединим $64$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + \frac{64}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.6

Добавим $0$ и $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.8

Умножим $2$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.9

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 (32)}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.12

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{16}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.13

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{8}{1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.13.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 1 \cdot 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.14

Умножим $- 1$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.15

Вычтем $8$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 \cdot - 8 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.16

Умножим $2$ на $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.17

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.18

Объединим $- 16$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.20.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 48}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.20.2

Вычтем $48$ из $32$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.22

Умножим $2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 - 2 \cdot - 4)$

Этап 12.4.23

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 + 8)$

Этап 12.4.24

Добавим $0$ и $8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8)$

Этап 12.4.25

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 12.4.26

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})$

Этап 12.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3})$

Этап 12.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.28.1

Умножим $8$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 24}{3})$

Этап 12.4.28.2

Добавим $- 16$ и $24$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{8}{3})$

Этап 13

Добавим $0$ и $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3}$

Этап 14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2)}{3}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2}{3}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Этап 15