Математический анализ Примеры

$f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{2}$ , $(- 1, 1)$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{2} d x)$

Этап 5

Развернем ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} (9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1) d x)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2} + 1) + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.5

Перенесем $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.6

Перенесем $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.7

Умножим $9$ на $9$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2} x^{2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2 + 2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.9

Добавим $2$ и $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.10

Умножим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.11

Умножим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 \cdot 1 d x)$

Этап 5.12

Умножим $1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 d x)$

Этап 5.13

Добавим $9 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 18 x^{2} + 1 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 7

Поскольку $81$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $81$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 10

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Этап 14.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Этап 14.3

Найдем значение $x$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.5

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1 + 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{2}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.8

Объединим $81$ и $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{81 \cdot 2}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.9

Умножим $81$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Этап 14.4.14

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1 + 1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.16

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{2}{3}) + 1 + 1)$

Этап 14.4.17

Объединим $18$ и $\frac{2}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{18 \cdot 2}{3} + 1 + 1)$

Этап 14.4.18

Умножим $18$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{36}{3} + 1 + 1)$

Этап 14.4.19

Сократим общий множитель $36$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.19.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3} + 1 + 1)$

Этап 14.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 (1)} + 1 + 1)$

Этап 14.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 1} + 1 + 1)$

Этап 14.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12}{1} + 1 + 1)$

Этап 14.4.19.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 + 1 + 1)$

Этап 14.4.20

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 \cdot \frac{5}{5} + 1 + 1)$

Этап 14.4.21

Объединим $12$ и $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Этап 14.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Этап 14.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.23.1

Умножим $12$ на $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 60}{5} + 1 + 1)$

Этап 14.4.23.2

Добавим $162$ и $60$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 1 + 1)$

Этап 14.4.24

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2)$

Этап 14.4.25

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})$

Этап 14.4.26

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})$

Этап 14.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 2 \cdot 5}{5})$

Этап 14.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.28.1

Умножим $2$ на $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 10}{5})$

Этап 14.4.28.2

Добавим $222$ и $10$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{232}{5})$

Этап 15

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{232}{5}$

Этап 16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $2$ из $232$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (116)}{5}$

Этап 16.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 116}{5}$

Этап 16.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{116}{5}$

Этап 17