Математический анализ Примеры

$f (x) = - t^{2} + 2 t + 31$ , $[0, 10]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 10]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} - t^{2} + 2 t + 31 d x)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} ((- t^{2} + 2 t + 31) x]_{0}^{10})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $(- t^{2} + 2 t + 31) x$ в $10$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (((- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 10) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $10$ влево от $- t^{2} + 2 t + 31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 \cdot (- t^{2} + 2 t + 31) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

Этап 6.2.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0 (- t^{2} + 2 t + 31))$

Этап 6.2.3

Умножим $0$ на $- t^{2} + 2 t + 31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0)$

Этап 6.2.4

Добавим $10 (- t^{2} + 2 t + 31)$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2}) + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 10 \cdot 31)$

Этап 7.2.3

Умножим $10$ на $31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Этап 8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Этап 8.2

Добавим $10$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2}) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $10$ из $- 10 t^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10.1.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10.1.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $10$ из $20 t$ .

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot 310$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $10$ из $310$ .

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 (31))$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 31)$

Этап 10.3.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + 31$

Этап 11