Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ , $[- 3, 3]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[- 3, 3]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x^{2} + 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 1.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 1.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 1.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} \frac{4}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Этап 6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{- 3}^{3}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Этап 8.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3})}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (- 1)}{3}))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{3}))$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{3}))$

Этап 9.2.2

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

Этап 9.2.3

Умножим $- - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{3}))$

Этап 9.2.3.2

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π + π}{4}}{3}))$

Этап 9.4

Добавим $π$ и $π$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{4}}{3}))$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{3}))$

Этап 9.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

Этап 9.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

Этап 9.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{2}}{3}))$

Этап 9.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}))$

Этап 9.7

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Этап 9.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{6}))$

Этап 9.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (2) (\frac{π}{6}))$

Этап 9.8.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Этап 9.8.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Этап 9.8.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (\frac{π}{3}))$

Этап 9.9

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\frac{2 π}{3})$

Этап 10

Добавим $3$ и $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 11.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{3}$ .

$A (x) = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Этап 13

Умножим $3$ на $3$ .

$A (x) = \frac{π}{9}$

Этап 14