Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7$ , $(0, 4)$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 9

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Этап 13.3

Найдем значение $- 7 x$ в $4$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 + 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.6

Добавим $64$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \cdot 64 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.7

Умножим $2$ на $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} + 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.12

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.13

Объединим $12$ и $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{12 \cdot 64}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.14

Умножим $12$ на $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{768}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.15

Сократим общий множитель $768$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $768$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 (1)} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{256}{1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.15.2.4

Разделим $256$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 256 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.16

Добавим $128$ и $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.17

Умножим $- 7$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 7 \cdot 0)$

Этап 13.4.18

Умножим $7$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 0)$

Этап 13.4.19

Добавим $- 28$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28)$

Этап 13.4.20

Вычтем $28$ из $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (356)$

Этап 14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 356$

Этап 14.2

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 356$

Этап 15

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $4$ из $356$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (89))$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 89)$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 89$

Этап 16