Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[- 2, 2]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 1.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 1.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 5

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 6

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Этап 6.3.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{lower} = 5$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Этап 6.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $5$ и в $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $\ln (| 5 |)$ из $\ln (| 5 |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

Этап 11.2.2

Умножим $\frac{15}{2}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

Этап 12

Добавим $2$ и $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Этап 13

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$A (x) = 0$

Этап 14