Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[0, 9]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{10}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 9]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Этап 5

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 6

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Этап 6.5

Добавим $9$ и $1$ .

$u_{upper} = 10$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Этап 8

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $10$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Этап 9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Этап 10.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Этап 10.3

Разделим $10$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Этап 11.2

Добавим $9$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Этап 12

Упростим $10 \ln (10)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Этап 13

Возведем $10$ в степень $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Этап 14

Упростим $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ путем переноса $\frac{1}{9}$ под логарифм.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Этап 15