Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[2, 7]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[2, 7]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 7]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\int_{2}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (| x |)]_{2}^{7})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $7$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (| 7 |) - \ln (| 2 |))$

Этап 6.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (\frac{| 7 |}{| 2 |}))$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (\frac{7}{| 2 |}))$

Этап 6.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (\frac{7}{2}))$

Этап 7

Вычтем $2$ из $7$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{7}{2})$

Этап 8

Упростим $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{2})$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$A (x) = \ln ({(\frac{7}{2})}^{\frac{1}{5}})$

Этап 9

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$A (x) = \ln (\frac{7^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}})$

Этап 10