Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[0, 3]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + x \geq 0$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 1.3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Упростим.

$1 + x = 0^{2}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 1.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 3]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Этап 5

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $3$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Этап 6.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2.4

Найдем экспоненту.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Этап 8.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Этап 8.2.8

Вычтем $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Этап 9.2

Добавим $3$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Этап 11