Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[0, 5]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 6}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 6}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 5]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Этап 5

Пусть $u = x - 6$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Этап 5.3

Вычтем $6$ из $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Этап 5.5

Вычтем $6$ из $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $- 1$ и в $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 8.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 8.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 8.2.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 8.2.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Этап 8.2.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Этап 8.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Этап 8.2.9

Вычтем $1$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Этап 9.2

Добавим $5$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Этап 10

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Этап 11