Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 5)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 2) (x - 2)) (x + 5)]$

Этап 1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 5)]$

Этап 1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (x + 5)]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)$ и $g (x) = x + 5$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 1.5.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 1.5.4.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 1.6

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4] + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + 0) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.7.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (3 x^{2}))$

Этап 1.7.9

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Этап 1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) x^{2})$

Этап 1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.10

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 1.8.11

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$x^{5} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{5} + x \cdot x^{3} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} + x^{1} x^{3} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} + x^{1 + 3} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{4}$ .

$x^{5} - 4 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.4

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 \cdot x^{3} + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.5

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x \cdot x^{3} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.5.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x^{1} x^{3} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x^{1 + 3} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.5.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x^{4} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.6

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (2 \cdot x^{4}) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 (x^{1} x^{4}) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{1 + 4} + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.9

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.10.1

Перенесем $x$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x \cdot x^{3} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{1} x^{3} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{1 + 3} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{4} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.11

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (2 \cdot x^{4}) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.12

Умножим $2$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.13

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} + x (- 4 \cdot x^{3}) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 (x^{1} x^{3}) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{1 + 3} + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.16

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.17

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} + 5 (- 4 \cdot x^{3}) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.18

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.19

Вычтем $4 x^{4}$ из $10 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.20

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.20.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 (x^{2} x^{2})) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2 + 2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.20.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.21

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 (x^{1} x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{1 + 4} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.23

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.24

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.24.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 (x^{2} x^{2})) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2 + 2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.24.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{4}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.25

Умножим $3$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.26

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x \cdot x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.27

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.27.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x)) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.27.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.27.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x^{1})) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.27.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{2 + 1}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.27.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.28

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 (x^{1} x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.29

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{1 + 3} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.30

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.31

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x \cdot x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.32

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.32.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x)) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.32.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.11.32.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x^{1})) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.32.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{2 + 1}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.32.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{3}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.33

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.34

Вычтем $12 x^{4}$ из $15 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.35

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (12 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.36

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.37

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{1 + 2} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.38

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 1.8.11.39

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (12 x^{2})$

Этап 1.8.11.40

Умножим $12$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.41

Добавим $- 60 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.42

Добавим $2 x^{5}$ и $3 x^{5}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.43

Добавим $6 x^{4}$ и $3 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 20 x^{3} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.44

Вычтем $48 x^{3}$ из $- 20 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.45

Добавим $x^{5}$ и $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.46

Добавим $- 4 x^{4}$ и $9 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{3} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.8.11.47

Вычтем $68 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{5}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 x^{3}$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 64 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.4.3

Умножим $3$ на $- 64$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{2}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + 60 (2 x)$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $60$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + 120 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 2) (x - 2)) (x + 5)]$

Этап 4.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 5)]$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (x + 5)]$

Этап 4.1.4

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 4.1.5.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 4.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Этап 4.1.6

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4] + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + 0) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.7.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (3 x^{2}))$

Этап 4.1.7.9

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Этап 4.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Этап 4.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) x^{2})$

Этап 4.1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.7

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 4.1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 4.1.8.9

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 4.1.8.10

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 4.1.8.11

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 4.1.8.11.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

Этап 4.1.8.11.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.2.1

Перенесем $x$ .

Этап 4.1.8.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 4.1.8.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 4.1.8.11.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

Этап 4.1.8.11.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{4}$ .

Этап 4.1.8.11.4

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

Этап 4.1.8.11.5

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.5.1

Перенесем $x$ .

Этап 4.1.8.11.5.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 4.1.8.11.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 4.1.8.11.5.3

Добавим $1$ и $3$ .

Этап 4.1.8.11.6

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

Этап 4.1.8.11.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 4.1.8.11.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 4.1.8.11.9

Добавим $1$ и $4$ .

Этап 4.1.8.11.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.10.1

Перенесем $x$ .

Этап 4.1.8.11.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 4.1.8.11.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 4.1.8.11.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

Этап 4.1.8.11.11

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

Этап 4.1.8.11.12

Умножим $2$ на $5$ .

Этап 4.1.8.11.13

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

Этап 4.1.8.11.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 4.1.8.11.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 4.1.8.11.16

Добавим $1$ и $3$ .

Этап 4.1.8.11.17

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

Этап 4.1.8.11.18

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.19

Вычтем $4 x^{4}$ из $10 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.20

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.20.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 (x^{2} x^{2})) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2 + 2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.20.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.21

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 (x^{1} x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{1 + 4} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.23

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.24

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.24.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 (x^{2} x^{2})) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2 + 2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.24.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{4}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.25

Умножим $3$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.26

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x \cdot x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.27

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.27.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x)) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.27.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.27.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x^{1})) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.27.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{2 + 1}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.27.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.28

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 (x^{1} x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.29

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{1 + 3} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.30

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.31

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x \cdot x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.32

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.32.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x)) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.32.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.11.32.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x^{1})) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.32.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{2 + 1}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.32.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{3}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.33

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.34

Вычтем $12 x^{4}$ из $15 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.35

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (12 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.36

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.37

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{1 + 2} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.38

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.39

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (12 x^{2})$

Этап 4.1.8.11.40

Умножим $12$ на $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.41

Добавим $- 60 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.42

Добавим $2 x^{5}$ и $3 x^{5}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.43

Добавим $6 x^{4}$ и $3 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 20 x^{3} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.44

Вычтем $48 x^{3}$ из $- 20 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.45

Добавим $x^{5}$ и $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.46

Добавим $- 4 x^{4}$ и $9 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{3} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.1.8.11.47

Вычтем $68 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{5}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{4}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2}) - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 64 x^{3}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x) + 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $60 x^{2}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x) + x^{2} \cdot 60 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2})$ .

$x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x) + x^{2} \cdot 60 = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x)$ .

$x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x) + x^{2} \cdot 60 = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 5.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 60, \pm 10, \pm 30, \pm 20, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 3.\overline{3}, \pm 6.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 12, \pm 6$

Этап 5.2.2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$6 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$6 \cdot 8 + 5 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.3

Умножим $6$ на $8$ .

$48 + 5 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$48 + 5 \cdot 4 - 64 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.5

Умножим $5$ на $4$ .

$48 + 20 - 64 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.6

Добавим $48$ и $20$ .

$68 - 64 \cdot 2 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.7

Умножим $- 64$ на $2$ .

$68 - 128 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.8

Вычтем $128$ из $68$ .

$- 60 + 60$

Этап 5.2.2.1.3.9

Добавим $- 60$ и $60$ .

$0$

Этап 5.2.2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60}{x - 2}$

Этап 5.2.2.1.5

Разделим $6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$6 x^{3}$

$5 x^{2}$

$64 x$

$60$

Этап 5.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$6 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$

Этап 5.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			+	$6 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} - 12 x^{2}$ .

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$

Этап 5.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $17 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$

Этап 5.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$34 x$

Этап 5.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $17 x^{2} - 34 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$

Этап 5.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$

Этап 5.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$

Этап 5.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 30 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$

Этап 5.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$
							-	$30 x$	+	$60$

Этап 5.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 30 x + 60$ .

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$
							+	$30 x$	-	$60$

Этап 5.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$
							+	$30 x$	-	$60$
										$0$

Этап 5.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$6 x^{2} + 17 x - 30$

Этап 5.2.2.1.6

Запишем $6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60$ в виде набора множителей.

$x^{2} ((x - 2) (6 x^{2} + 17 x - 30)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x - 2) (6 x^{2} + 17 x - 30) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$6 x^{2} + 17 x - 30 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.6

Приравняем $6 x^{2} + 17 x - 30$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $6 x^{2} + 17 x - 30$ к $0$ .

$6 x^{2} + 17 x - 30 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $6 x^{2} + 17 x - 30 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.6.2.2

Подставим значения $a = 6$ , $b = 17$ и $c = - 30$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 30)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1

Возведем $17$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 6 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 24 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 30$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 720}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.3.1.3

Добавим $289$ и $720$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.1.1

Возведем $17$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 6 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 24 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 30$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 720}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.4.1.3

Добавим $289$ и $720$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 17 + \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.4.4

Перепишем $- 17$ в виде $- 1 (17)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 + \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{1009}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 - 1 (- \sqrt{1009})}{12}$

Этап 5.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (17) - 1 (- \sqrt{1009})$ .

$x = \frac{- 1 (17 - \sqrt{1009})}{12}$

Этап 5.6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.5.1.1

Возведем $17$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 6 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 24 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 30$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 720}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.5.1.3

Добавим $289$ и $720$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 17 - \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.5.4

Перепишем $- 17$ в виде $- 1 (17)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 - \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{1009}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 - (\sqrt{1009})}{12}$

Этап 5.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (17) - (\sqrt{1009})$ .

$x = \frac{- 1 (17 + \sqrt{1009})}{12}$

Этап 5.6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x - 2) (6 x^{2} + 17 x - 30) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 2, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $30$ на $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Этап 9.1.4

Умножим $20$ на $0$ .

$0 + 0 - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 - 192 \cdot 0 + 120 (0)$

Этап 9.1.6

Умножим $- 192$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 120 (0)$

Этап 9.1.7

Умножим $120$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}) \cup (- \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 7$ , из интервала $(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12})$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f' (- 7) = 6 {(- 7)}^{5} + 5 {(- 7)}^{4} - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 7$ в степень $5$ .

$f' (- 7) = 6 \cdot - 16807 + 5 {(- 7)}^{4} - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $6$ на $- 16807$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 5 {(- 7)}^{4} - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 7$ в степень $4$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 5 \cdot 2401 - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $5$ на $2401$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 - 64 \cdot - 343 + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 64$ на $- 343$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 + 21952 + 60 {(- 7)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.7

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 + 21952 + 60 \cdot 49$

Этап 10.2.2.1.8

Умножим $60$ на $49$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 + 21952 + 2940$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $- 100842$ и $12005$ .

$f' (- 7) = - 88837 + 21952 + 2940$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $- 88837$ и $21952$ .

$f' (- 7) = - 66885 + 2940$

Этап 10.2.2.2.3

Добавим $- 66885$ и $2940$ .

$f' (- 7) = - 63945$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 63945$ .

$- 63945$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}, 0)$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} + 5 {(- 2)}^{4} - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 + 5 {(- 2)}^{4} - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $6$ на $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 + 5 {(- 2)}^{4} - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 5 \cdot 16 - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 - 64 \cdot - 8 + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $- 64$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 + 512 + 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.7

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 + 512 + 60 \cdot 4$

Этап 10.3.2.1.8

Умножим $60$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 + 512 + 240$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $- 192$ и $80$ .

$f' (- 2) = - 112 + 512 + 240$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $- 112$ и $512$ .

$f' (- 2) = 400 + 240$

Этап 10.3.2.2.3

Добавим $400$ и $240$ .

$f' (- 2) = 640$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $640$ .

$640$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12})$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 + 5 - 64 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $- 64$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 64 + 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 + 5 - 64 + 60 \cdot 1$

Этап 10.4.2.1.8

Умножим $60$ на $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 64 + 60$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Добавим $6$ и $5$ .

$f' (1) = 11 - 64 + 60$

Этап 10.4.2.2.2

Вычтем $64$ из $11$ .

$f' (1) = - 53 + 60$

Этап 10.4.2.2.3

Добавим $- 53$ и $60$ .

$f' (1) = 7$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $1.62$ , из интервала $(- \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, 2)$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.62$ .

$f' (1.62) = 6 {(1.62)}^{5} + 5 {(1.62)}^{4} - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $1.62$ в степень $5$ .

$f' (1.62) = 6 \cdot 11.15771008 + 5 {(1.62)}^{4} - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $6$ на $11.15771008$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 5 {(1.62)}^{4} - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $1.62$ в степень $4$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 5 \cdot 6.88747536 - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $5$ на $6.88747536$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.5

Возведем $1.62$ в степень $3$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 64 \cdot 4.251528 + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.6

Умножим $- 64$ на $4.251528$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 272.097792 + 60 {(1.62)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.7

Возведем $1.62$ в степень $2$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 272.097792 + 60 \cdot 2.6244$

Этап 10.5.2.1.8

Умножим $60$ на $2.6244$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 272.097792 + 157.464$

Этап 10.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Добавим $66.94626049$ и $34.4373768$ .

$f' (1.62) = 101.38363729 - 272.097792 + 157.464$

Этап 10.5.2.2.2

Вычтем $272.097792$ из $101.38363729$ .

$f' (1.62) = - 170.7141547 + 157.464$

Этап 10.5.2.2.3

Добавим $- 170.7141547$ и $157.464$ .

$f' (1.62) = - 13.2501547$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $- 13.2501547$ .

$- 13.2501547$

Этап 10.6

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2.1.2

Умножим $6$ на $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2.1.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2.1.4

Умножим $5$ на $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 64 \cdot 64 + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2.1.6

Умножим $- 64$ на $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 4096 + 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.6.2.1.7

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 4096 + 60 \cdot 16$

Этап 10.6.2.1.8

Умножим $60$ на $16$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 4096 + 960$

Этап 10.6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.2.1

Добавим $6144$ и $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 4096 + 960$

Этап 10.6.2.2.2

Вычтем $4096$ из $7424$ .

$f' (4) = 3328 + 960$

Этап 10.6.2.2.3

Добавим $3328$ и $960$ .

$f' (4) = 4288$

Этап 10.6.2.3

Окончательный ответ: $4288$ .

$4288$

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ , $x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ — локальный минимум.

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ — локальный минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.9

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ , $x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ — локальный максимум.

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ — локальный максимум

Этап 10.10

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 2$ , $x = 2$ — локальный минимум.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 10.11

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 5)$ .

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ — локальный минимум

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ — локальный минимум

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11