Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 2$ .

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x + 2$ .

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Объединим $4$ и $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.5.2

Вынесем множитель $4 x$ из $16 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.5.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (4)$ .

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$4 x (x + 4) = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $(0) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(0)}^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

Этап 3.2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Этап 3.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Этап 3.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

Этап 3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Этап 3.2.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Этап 3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ в точке $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $(- 4) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(- 4)}^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

Этап 4.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

Этап 4.2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2 + 2 (1)$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Этап 4.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Этап 4.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Умножим $2$ на $16$ .

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

Этап 4.2.2.4

Разделим $32$ на $- 1$ .

$f (- 4) = - 32$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 32$ .

$- 32$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ ― $y = 0, y = - 32$ .

$y = 0, y = - 32$

Этап 6