Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x {(8 - x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(8 - x)}^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(8 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(8 - x)}^{3})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(8 - x)}^{3}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 8 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

По правилу суммы производная $8 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(8 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(8 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(8 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \cdot 1) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.4.9

Умножим ${(8 - x)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(8 - x)}^{2})) + 3 {(8 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f' (x) = - 9 (x ({(8 - x)}^{2})) + 3 {(8 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $3 {(8 - x)}^{2}$ из $- 9 x {(8 - x)}^{2} + 3 {(8 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Вынесем множитель $3 {(8 - x)}^{2}$ из $- 9 x {(8 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(8 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем множитель $3 {(8 - x)}^{2}$ из $3 {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$

Этап 1.1.5.3.3

Вынесем множитель $3 {(8 - x)}^{2}$ из $3 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$ .

$f' (x) = 3 {(8 - x)}^{2} (- 3 x + 8 - x)$

Этап 1.1.5.4

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8)$ .

$3 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(8 - x)}^{2} = 0$

$- 4 x + 8 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(8 - x)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(8 - x)}^{2}$ к $0$ .

${(8 - x)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(8 - x)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $8 - x$ к $0$ .

$8 - x = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 8$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x = 8$

Этап 2.4

Приравняем $- 4 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- 4 x + 8$ к $0$ .

$- 4 x + 8 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- 4 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 8$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 4}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 4$ .

$x = 2$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8) = 0$ верно.

$x = 8, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x {(8 - x)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $8$ вместо $x$ .

$3 (8) {(8 - (8))}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $3$ на $8$ .

$24 {(8 - (8))}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$24 {(8 - 8)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$24 \cdot 0^{3}$

Этап 4.1.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$24 \cdot 0$

Этап 4.1.2.5

Умножим $24$ на $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$3 (2) {(8 - (2))}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 {(8 - (2))}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 {(8 - 2)}^{3}$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $2$ из $8$ .

$6 \cdot 6^{3}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $6$ на $6^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $6$ на $6^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1.1

Возведем $6$ в степень $1$ .

$6^{1} \cdot 6^{3}$

Этап 4.2.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6^{1 + 3}$

Этап 4.2.2.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$6^{4}$

Этап 4.2.2.5

Возведем $6$ в степень $4$ .

$1296$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(8, 0), (2, 1296)$

Этап 5