Математический анализ Примеры

$\int \frac{5}{e^{5 x}} - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поменяем знак экспоненты $e^{5 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$5 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \int 1 e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $e^{- 5 x}$ на $1$ .

$5 \int e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 4

Пусть $u = - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 5.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 5$ .

$\frac{- 5}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 9.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (e^{u} + C) - \int \frac{2}{5 x} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{2}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{5}$ из-под знака интеграла.

$- (e^{u} + C) - (\frac{2}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (e^{u} + C) - \frac{2}{5} (\ln (| x |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$- e^{u} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$- e^{- 5 x} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$