Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 6 x + 2 y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 6 x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$2 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.3

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 1.5

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $2 x + 3 y$ и $0$ .

$2 x + 3 y - 6 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $2 x + 3 y - 6$ и $0$ .

$2 x + 3 y - 6$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 y - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x + 3 y - 6 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$2 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.3

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 4.1.5

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 3 y + 0 - 6 + 0$

Этап 4.1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $2 x + 3 y$ и $0$ .

$2 x + 3 y - 6 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $2 x + 3 y - 6$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x + 3 y - 6$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + 3 y - 6$ .

$2 x + 3 y - 6$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + 3 y - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x + 3 y - 6 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 6 = - 3 y$

Этап 5.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 x = - 3 y + 6$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x = - 3 y + 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x = - 3 y + 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{6}{2}$

Этап 5.3.3.1.2

Разделим $6$ на $2$ .

$x = - \frac{3 y}{2} + 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{3 y}{2} + 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{3 y}{2} + 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2$

Этап 9

$x = - \frac{3 y}{2} + 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{3 y}{2} + 3$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{3 y}{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3 y}{2} + 3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = {(- \frac{3 y}{2} + 3)}^{2} + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Перепишем ${(- \frac{3 y}{2} + 3)}^{2}$ в виде $(- \frac{3 y}{2} + 3) (- \frac{3 y}{2} + 3)$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = (- \frac{3 y}{2} + 3) (- \frac{3 y}{2} + 3) + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.2

Развернем $(- \frac{3 y}{2} + 3) (- \frac{3 y}{2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = - \frac{3 y}{2} \cdot (- \frac{3 y}{2} + 3) + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = - \frac{3 y}{2} \cdot (- \frac{3 y}{2}) - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = - \frac{3 y}{2} \cdot (- \frac{3 y}{2}) - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1

Умножим $- \frac{3 y}{2} (- \frac{3 y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = 1 (\frac{3 y}{2}) \cdot \frac{3 y}{2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.2

Умножим $\frac{3 y}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{3 y}{2} \cdot \frac{3 y}{2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.3

Умножим $\frac{3 y}{2}$ на $\frac{3 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{3 y (3 y)}{2 \cdot 2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y \cdot y}{2 \cdot 2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 (y \cdot y)}{2 \cdot 2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 (y \cdot y)}{2 \cdot 2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.1.9

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{3 y}{2} \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.2

Умножим $- \frac{3 y}{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 3 \frac{3 y}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{- 3 (3 y)}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{- 9 y}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.4

Умножим $3 (- \frac{3 y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y}{2} - 3 \frac{3 y}{2} + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.4.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y}{2} + \frac{- 3 (3 y)}{2} + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.4.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y}{2} + \frac{- 9 y}{2} + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y}{2} - \frac{9 y}{2} + 3 \cdot 3 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y}{2} - \frac{9 y}{2} + 9 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.3.2

Вычтем $\frac{9 y}{2}$ из $- \frac{9 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 2 \frac{9 y}{2} + 9 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} + 2 (- 1) (\frac{9 y}{2}) + 9 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{9 y}{2}) + 9 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 1 (9 y) + 9 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.4.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + 3 (- \frac{3 y}{2} + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + (3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 \cdot 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.6

Умножим $3 (- \frac{3 y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + (- 3 \frac{3 y}{2} + 3 \cdot 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.6.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + (\frac{- 3 (3 y)}{2} + 3 \cdot 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.6.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + (\frac{- 9 y}{2} + 3 \cdot 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + (\frac{- 9 y}{2} + 9) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 + (- \frac{9 y}{2} + 9) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y}{2} \cdot y + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.10

Умножим $- \frac{9 y}{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.1

Объединим $y$ и $\frac{9 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{y (9 y)}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.10.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 (y \cdot y)}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.10.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 (y \cdot y)}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{1 + 1}}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2} + 3) + 2 y$

Этап 10.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 (- \frac{3 y}{2}) - 6 \cdot 3 + 2 y$

Этап 10.2.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 y}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 6 \frac{- 3 y}{2} - 6 \cdot 3 + 2 y$

Этап 10.2.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} + 2 (- 3) (\frac{- 3 y}{2}) - 6 \cdot 3 + 2 y$

Этап 10.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 3 y}{2}) - 6 \cdot 3 + 2 y$

Этап 10.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} - 3 (- 3 y) - 6 \cdot 3 + 2 y$

Этап 10.2.1.13

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} + 9 y - 6 \cdot 3 + 2 y$

Этап 10.2.1.14

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{9 y^{2}}{4} - 9 y + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 9 y + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $- 9 y$ и $9 y$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 0 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.2.2

Добавим $\frac{9 y^{2}}{4} + 9 - \frac{9 y^{2}}{2}$ и $0$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} + 9 - \frac{9 y^{2}}{2} + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $- \frac{9 y^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $\frac{9 y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2}}{4} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1.1

Вынесем множитель $9 y^{2}$ из $9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1.1.1

Вынесем множитель $9 y^{2}$ из $9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2} (1) - 9 y^{2} \cdot 2}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6.1.1.2

Вынесем множитель $9 y^{2}$ из $- 9 y^{2} \cdot 2$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2} (1) + 9 y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6.1.1.3

Вынесем множитель $9 y^{2}$ из $9 y^{2} (1) + 9 y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2} (1 - 2)}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{9 y^{2} \cdot - 1}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{- 9 y^{2}}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = - \frac{9 y^{2}}{4} + 9 + 4 y^{2} + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.7

Чтобы записать $4 y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = - \frac{9 y^{2}}{4} + 4 y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Объединим $4 y^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{4 y^{2} \cdot 4}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{- 9 y^{2} + 4 y^{2} \cdot 4}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 9 y^{2} + 4 y^{2} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{y^{2} \cdot - 9 + 4 y^{2} \cdot 4}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.9.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $4 y^{2} \cdot 4$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{y^{2} \cdot - 9 + y^{2} (4 \cdot 4)}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.9.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot - 9 + y^{2} (4 \cdot 4)$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{y^{2} (- 9 + 4 \cdot 4)}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.9.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{y^{2} (- 9 + 16)}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.9.1.3

Добавим $- 9$ и $16$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{y^{2} \cdot 7}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.9.2

Перенесем $7$ влево от $y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{7 y^{2}}{4} + 9 + 9 y - 18 + 2 y$

Этап 10.2.10

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.10.1

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{7 y^{2}}{4} + 9 y - 9 + 2 y$

Этап 10.2.10.2

Добавим $9 y$ и $2 y$ .

$f (- \frac{3 y}{2} + 3) = \frac{7 y^{2}}{4} + 11 y - 9$

Этап 10.2.11

Окончательный ответ: $\frac{7 y^{2}}{4} + 11 y - 9$ .

$y = \frac{7 y^{2}}{4} + 11 y - 9$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 6 x + 2 y$ .

$(- \frac{3 y}{2} + 3, \frac{7 y^{2}}{4} + 11 y - 9)$ — локальный минимум

Этап 12