Математический анализ Примеры

$\int x - 2 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = - x$ . Тогда $d u_{1} = - d x$ , следовательно $- d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = - x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Этап 8

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 10.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + 1 (\frac{1}{2}) \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$