Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{- 1} + x y - 8 y^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 1.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{- 8}{y}]$

Этап 1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{y}]$

Этап 1.4.3

Поскольку $- \frac{8}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8}{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{- 2} + y + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $- x^{- 2} + y$ и $0$ .

$- x^{- 2} + y$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$y - x^{- 2}$

Этап 1.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $y - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3} + 0$

Этап 2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 2.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 2.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$y - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{- 8}{y}]$

Этап 4.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{y}]$

Этап 4.1.4.3

Поскольку $- \frac{8}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8}{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{- 2} + y + 0$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $- x^{- 2} + y$ и $0$ .

$- x^{- 2} + y$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$y - x^{- 2}$

Этап 4.1.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = y - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $y - \frac{1}{x^{2}}$ .

$y - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $y - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$y - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - y$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - y$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - y$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - y x^{2}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- y x^{2} = - 1$ .

$- y x^{2} = - 1$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- y x^{2} = - 1$ на $- y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- y x^{2} = - 1$ на $- y$ .

$\frac{- y x^{2}}{- y} = \frac{- 1}{- y}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{- 1}{- y}$

Этап 5.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{- 1}{- y}$

Этап 5.5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- y}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{y}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{y}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{y}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Этап 5.5.4.4.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Этап 5.5.4.4.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Этап 5.5.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.5.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Этап 5.5.4.4.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$y = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{y}}{y}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(\frac{\sqrt{y}}{y})}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{2}{\frac{{\sqrt{y}}^{3}}{y^{3}}}$

Этап 9.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{y}}^{3}$ в виде $\sqrt{y^{3}}$ .

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y^{3}}}{y^{3}}}$

Этап 9.1.2.2

Вынесем $y^{2}$ за скобки.

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y^{2} y}}{y^{3}}}$

Этап 9.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2}{\frac{y \sqrt{y}}{y^{3}}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $y$ и $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \sqrt{y}$ .

$\frac{2}{\frac{y (\sqrt{y})}{y^{3}}}$

Этап 9.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{2}{\frac{y (\sqrt{y})}{y \cdot y^{2}}}$

Этап 9.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\frac{y \sqrt{y}}{y \cdot y^{2}}}$

Этап 9.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y}}{y^{2}}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 \frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Этап 9.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $\frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Этап 9.4.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Этап 9.4.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Этап 9.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Этап 9.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 9.4.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Этап 9.4.6.5

Упростим.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} \sqrt{y}$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y}$

Этап 9.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y^{1}}$

Этап 9.5.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y \cdot 1}$

Этап 9.5.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y \cdot 1}$

Этап 9.5.2.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{y \sqrt{y}}{1}$

Этап 9.5.2.5

Разделим $y \sqrt{y}$ на $1$ .

$2 (y \sqrt{y})$

$2 y \sqrt{y}$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11