Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 1.3.9

Объединим $- 6$ и $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Этап 1.3.10

Умножим $4$ на $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.4

Объединим $\frac{9}{5}$ и $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{9}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ по $x$ равна $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.9

Умножим $\frac{9}{5}$ на $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.10

Умножим $4$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.11

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{24}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ равна $- \frac{24}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.5.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Этап 2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Этап 2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Этап 2.3.11

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Этап 2.3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ и $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13

Умножим $x^{- \frac{4}{5}}$ на $x^{- \frac{2}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13.3

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Этап 2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{6}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Этап 2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + 1 (\frac{24}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 2.3.16

Умножим $\frac{24}{5}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 2.3.17

Умножим $\frac{24}{5}$ на $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Этап 2.3.18

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 4.1.3.2

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 4.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 4.1.3.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 4.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 4.1.3.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 4.1.3.9

Объединим $- 6$ и $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Этап 4.1.3.10

Умножим $4$ на $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 4.1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 4.1.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 4.1.4

Объединим $\frac{9}{5}$ и $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Этап 5.2.2

Так как $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $5, 5, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{5}}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 5.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.6

НОК $5, 5, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 5.2.7

НОК $x^{\frac{1}{5}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.2.8

НОК $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ умножим на $5 x^{\frac{1}{5}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ на $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{4}{5}}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 x^{\frac{1 + 4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $4$ .

$9 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3.5

Разделим $5$ на $5$ .

$9 x^{1} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.4

Упростим $9 x^{1}$ .

$9 x - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.5

Сократим общий множитель $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ в числитель.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$9 x - 24 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$9 x - 24 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 x - 24 = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 24$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $9 x = 24$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $9 x = 24$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{24}{9}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{9}$

Этап 5.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Этап 5.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Этап 5.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{8}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$3125 x = 0^{5}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 x = 0$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{8}{3}, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{8}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{36}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36}{25 \frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.1.2

Объединим $25$ и $\frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$36 \frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.1.4

Объединим $36$ и $\frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.1.5

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 \frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Этап 9.1.6

Объединим $25$ и $\frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Этап 9.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + 24 \frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.1.8

Объединим $24$ и $\frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.2

Чтобы записать $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.3.2

Умножим $8^{\frac{1}{5}}$ на $8^{\frac{5}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перенесем $8^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (8^{\frac{5}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}})} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5 + 1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.3.2.4

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{1} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Найдем экспоненту.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8 + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 9.5.2

Умножим $8$ на $36$ .

$\frac{288 \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Этап 10

$x = \frac{8}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{8}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{\frac{9}{5}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 \frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Этап 11.2.1.3

Объединим $- 6$ и $\frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} + \frac{- 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Этап 11.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3^{\frac{9}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ на $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $3^{\frac{4}{5}}$ на $3^{\frac{5}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}$

Этап 11.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4 + 5}{5}}}$

Этап 11.2.3.2.3

Добавим $4$ и $5$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Этап 11.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Этап 11.2.4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Этап 11.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3}{3^{\frac{9}{5}}}$

Этап 11.2.5

Умножим $3$ на $- 6$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$ .

$y = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{36}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$\frac{36}{25 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{1}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13.3

Найдем экспоненту.

$\frac{36}{25 \cdot 0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13.4

Умножим $25$ на $0$ .

$\frac{36}{0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{8}{3})$ в первую производную $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{9 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{9 \cdot 1}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 \cdot 1}$

Этап 14.3.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5}$

Этап 14.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1) = \frac{9 - 24}{5}$

Этап 14.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.2.1

Вычтем $24$ из $9$ .

$f' (1) = \frac{- 15}{5}$

Этап 14.3.2.2.2.2

Разделим $- 15$ на $5$ .

$f' (1) = - 3$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $5$ , из интервала $(\frac{8}{3}, \infty)$ в первую производную $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{9 {(5)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Перенесем ${(5)}^{\frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $5$ на $5^{- \frac{4}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.2.1

Умножим $5$ на $5^{- \frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.2.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (5) = \frac{9}{5^{1 - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5 - 4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.2.4

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.3

Умножим $5$ на ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.3.1

Умножим $5$ на ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.3.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{1 + \frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Этап 14.4.2.1.3.4

Добавим $5$ и $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.2

Чтобы записать $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $5^{\frac{6}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.1

Умножим $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.3.2

Умножим $5^{\frac{1}{5}}$ на $5^{\frac{5}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5} + \frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1 + 5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.3.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}} - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.5.1

Разделим $5$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.5.2

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.5.3

Умножим $9$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{45 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.5.4

Вычтем $24$ из $45$ .

$f' (5) = \frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{8}{3}$ , $x = \frac{8}{3}$ — локальный минимум.

$x = \frac{8}{3}$ — локальный минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ .

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \frac{8}{3}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \frac{8}{3}$ — локальный минимум

Этап 15